Question

已知定义在R上的偶函数y=f（x）满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：
①f（2）=0；             
②x=-4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；
④若关于x的方程f（x）=m在[一6，一2]上的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-8．
以上命题中所有正确的命题为（ ）
A．①②④
B．①③④
C．②④
D．③④

Answer

根据f（x）是定义在R上的偶函数，及在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=-2可得f（-2）=f（2）=0，从而有f（x+4）=f（x），故得函数f（x）是周期为4的周期函数，再结合y=f（x）单调递减、奇偶性画出函数f（x）的简图，最后利用从图中可以得出正确的结论．
【解析】
∵f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x），
可得f（-2）=f（2），
在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=-2得
f（2）=f（-2）+f（2），
∴f（-2）=f（2）=0，
∴f（x+4）=f（x），
∴函数f（x）是周期为4的周期函数，
又当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，结合函数的奇偶性画出函数f（x）的简图，如图所示．
从图中可以得出：
②x=-4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；
③函数y=f（x）在[8，10]单调递减；
④若方程f（x）=m在[-6，-2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=-8．
故①②④正确；
故选A；