Question

已知函数g（x）=是奇函数，f（x）=log₄（4^x+1）+mx是偶函数．
（1）求m+n的值；
（2）设h（x）=f（x）+x，若g（x）＞h[log₄（2a+1）]对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围．
（3）若对任意的t∈R，不等式g（t²-2t）+g（2t²-k）＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer

（1）根据定义在R上奇函数满足g（0）=0，解出n=1，再根据f（-x）=f（x），化简整理得到m=-，由此可得m+n的值；
（2）由（1）得h（x）=log4（4x+1），从而h[log4（2a+1）]=log4（2a+2），根据g（x）在区间[1，+∞）上是增函数，得g（x）min=g（1）=，可建立关于a的不等式组，解之即可得到实数a的取值范围；
（3）根据g（x）是定义在R上的奇函数且是增函数，将原不等式转化为t2-2t＞-2t2+k对一切t∈R恒成立，再结合一元二次不等式恒成立的条件，列出关于k的不等式，解之可得k的取值范围．
【解析】
（1）由于g（x）为奇函数，且定义域为R，
∴g（0）=0，即=0，解之得n=1，…（2分）
由于f（x）=log4（4x+1）+mx，
∴f（-x）=log4（4-x+1）-mx=log4（4x+1）-（m+1）x，
∵f（x）=log4（4x+1）+mx是偶函数，
∴f（-x）=f（x），得到m=-，由此可得：m+n的值为；…（4分）
（2）∵h（x）=f（x）+x=log4（4x+1），∴h[log4（2a+1）]=log4（2a+2），…（6分）
又∵g（x）==2x-2-x在区间[1，+∞）上是增函数，
∴当x≥1时，g（x）min=g（1）=…（8分）
由题意得到，解之得-＜a＜3，得a的取值范围是：（-，3）．…（9分）
（3）g（x）=2x-2-x在区间（-∞，+∞）上是增函数，
又∵g（-x）=-g（x），得g（x）是奇函数，
∴不等式g（t2-2t）+g（2t2-k）＞0等价于g（t2-2t）＞-g（2t2-k）=g（-2t2+k）…（10分）
由g（x）在R上是增函数得，t2-2t＞-2t2+k对一切t∈R恒成立，…（12分）
即3t2-2t-k＞0对一切t∈R恒成立，，所以△=4+12k＜0，解之得k…（14分）