Question

函数f（x）=|x³-3x²-t|，x∈[0，4]的最大值记为g（t），当t在实数范围内变化时g（t）最小值为    ．

Answer

利用导数先求出y=x3-3x2的值域是[-4，16]，再由函数f（x）=|x3-3x2-t|，x∈[0，4]的最大值记为g（t），求出g（t）=．由此能求出g（t）最小值．
【解析】
设y=x3-3x2，
则y′=3x2-6x，
由y′=3x2-6x=0，
得x1=0，x2=2，
∵x∈[0，4]，
y|x=0=0，
y|x=2=-4，
y|x=4=16，
∴y=x3-3x2的值域是[-4，16]．
∵函数f（x）=|x3-3x2-t|，x∈[0，4]的最大值记为g（t），
∴当t＞6时，g（t）=4+t；
当t=6时，g（t）=10；
当t＜6时，g（t）=16-t．
∴g（t）=．
∴g（t）最小值为10．
故答案为：10．