Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象与y轴的交点为（0，1），它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为（x，0）和（x+2π，-2）．
（1）求f（x）的解析式及x的值；
（2）求f（x）的增区间；
（3）若x∈[-π，π]，求f（x）的值域．

Answer

（1）利用函数图象确定函数的振幅，周期，利用f（0）=1求出φ，求出f（x）的解析式，y轴右侧的第一个最高点即可求出x的值；
（2）通过正弦函数的单调增区间，直接求函数f（x）的增区间；
（3）通过x∈[-π，π]，求出x+的范围，然后利用正弦函数的值域求f（x）的值域．
【解析】
由图象以及题意可知A=2，，T=4π，ω==，
函数f（x）=2sin（x+φ），因为f（0）=1=2sinφ，|φ|＜，所以φ=．
∴f（x）=2sin（x+）．
由图象f（x）=2sin（x+）=2，所以x+= k∈Z，
因为在y轴右侧的第一个最高点的坐标分别为（x，0），
所以x=．
（2）由，k∈Z，
得，k∈Z，
所以函数的单调增区间为．
（3）∵x∈[-π，π]，∴x+，∴≤sin（x+）≤1．
2sin（x+）≤2．
所以函数的值域为：[]．