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设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线,y=f(x)过P(1,0),且在P点...

设函数f(x)=x+ax2+blnx,曲线,y=f(x)过P(1,0),且在P点处的切线率为2.
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)证明:f(x)≤2x-2.
(Ⅰ)救出函数的导数,再利用f(1)=0以及f′(1)=2建立方程组,联解可得a,b的值; (Ⅱ)转化为证明函数y=f(x)-(2x-2)的最大值不超过0,用导数工具讨论单调性,可得此函数的最大值. 【解析】 (Ⅰ)f'(x)=1+2ax+, 由已知条件得:,即 解之得:a=-1,b=3 (Ⅱ)f(x)的定义域为(0,+∞),由(Ⅰ)知f(x)=x-x2+3lnx, 设g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3lnx,则 = 当时0<x<1,g′(x)>0;当x>1时,g′(x)<0 所以在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减 ∴g(x)在x=1处取得最大值g(1)=0 即当x>0时,函数g(x)≤0 ∴f(x)≤2x-2在(0,+∞)上恒成立
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考点分析:
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x-145
f(x)1221
下列关于f(x)的命题:
①函数f(x)的极大值点为0,4;
②函数f(x)在[0,2]上是减函数;
③如果当x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;
④当1<a<2时,函数y=f(x)-a有4个零点;
⑤函数y=f(x)-a的零点个数可能为0、1、2、3、4个.
其中正确命题的序号是   
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①2011∈[1];   
②-3∈[3];   
③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4];
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其中,正确结论的是    查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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