Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱与底面垂直，AA₁=AB=AC=1，AB⊥AC，M，N分别是CC₁，BC的中点，点P在直线A₁B₁上，且；
（Ⅰ）证明：无论λ取何值，总有AM⊥PN；
（Ⅱ）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该角取最大值时的正切值；
（Ⅲ）是否存在点P，使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°，若存在，试确定点P的位置，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，求出各点的坐标及对应向量的坐标，易判断，即AM⊥PN；
（2）设出平面ABC的一个法向量，表达出sinθ，利用正弦函数的单调性及正切函数的单调性的关系，求出满足条件的λ值，进而求出此时θ的正切值；
（3）假设存在，利用平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°，则平面PMN与平面ABC法向量的夹角为30°，代入向量夹角公式，可以构造一个关于λ的方程，研究方程根的情况，即可得到结论．
（1）证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A1（0，0，1），
B1（1，0，1），M（0，1，），N（，0），，
（1）【解析】
∵，∴
∴无论λ取何值，AM⊥PN…（4分）
（2）【解析】
∵=（0，0，1）是平面ABC的一个法向量．
∴sinθ=|cos＜|=
而θ∈[0，]，当θ最大时，sinθ最大，tanθ最大，θ=除外，
∴当λ=时，θ取得最大值，此时sinθ=，cosθ=，tanθ=2  …（8分）
（3）假设存在，则，设是平面PMN的一个法向量．
则得令x=3，得y=1+2λ，z=2-2λ
∴
∴|cos＜＞|=化简得4λ2+10λ+13=0（*）
∵△=100-4×4×13=-108＜0
∴方程（*）无解
∴不存在点P使得平面PMN与平面ABC所成的二面角为30°…（13分）