Question

已知、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角，向量，=（cosB，-cosA）且．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若sinA，sinC，sinB成等差数列，且，求边c的长．

Answer

（Ⅰ）根据和表示出据•求得进而根据已知可推断出sinC=sin2C，进而根据二倍角公式求得cosC的值进而求得C
（Ⅱ）由sinA，sinC，sinB成等差数列，可推断出2sinC=sinA+sinB，进而利用正弦定理把角转化为边的问题，进而根据求得abcosC=18，最后由余弦定理求得C．
【解析】
（Ⅰ）
在△ABC中，由于sin（A+B）=sinC，∴
又∵，∴sin2C=sinC，2sinCcosC=sinC
又sinC≠0，所以，而0＜C＜π，因此．
（Ⅱ）由sinA，sinC，sinB成等差数列，得2sinC=sinA+sinB，
由正弦定理得2c=a+b．
∵，
即abcosC=18，由（Ⅰ）知，所以ab=36．
由余弦弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-3ab，
∴c2=4c2-3×36，
∴c2=36，
∴c=6．