Question

已知f（x）=（1+2x）^m+（1+4x）ⁿ（m，n∈N^*）的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x²项的系数最小值，及m，n值．

Answer

展开式中含x2项的系数是关于m，n的关系式，由展开式中含x项的系数为36，可得2m+4n=36，从而转化为关于m或n的二次函数求解．
【解析】
∵f（x）=（1+2x）m+（1+4x）n展开式中含x的项为•2x+•4x=（2m+4n）x，
∵f（x）=（1+2x）m+（1+4x）n（m，n∈N*）的展开式中含x项的系数为36，
∴m+2n=18，
∴f（x）=（1+2x）m+（1+4x）n展开式中含x2的项的系数为t=•22+•42=2m2-2m+8n2-8n，
∵m+2n=18，
∴m=18-2n，
∴t=2（18-2n）2-2（18-2n）+8n2-8n=16n2-148n+612
=16（n2-n+），
∴当n=时，t取最小值，但n∈N*，
∴n=5时t最小，即x2项的系数最小，最小值为272，此时n=5，m=8．