Question

设函数f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（m＞-2）的图象在x=2处的切线与直线x-5y-12=0垂直．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值与零点；
（Ⅱ）设g（x）=+lnx，若对任意x₁∈[0，1]，存在x₂∈（0，1]，使f（x₁）＞g（x₂）成立，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）若a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1，证明：++≤．

Answer

（Ⅰ）对f（x）进行求导，根据f（x）图象在x=2处的切线与直线x-5y-12=0垂直，根据导数与斜率的关系，可得f′（2）=-5，求出m的值，然后再求出
函数f（x）的极值与零点；
（Ⅱ）由（Ⅰ）已经知道f（x）的极大值和极小值，对命题进行转化：对任意x1∈[0，1]时，存在x2∈（0，1]时，使f（x1）＞g（x2）”等价于“f（x）在[0，1]上的最小值大于g（x）在[0，1]上的最小值，因k值与0的关系不知道，所以要分类讨论：k＞0；k=0；k＜0；进行求解；
（Ⅲ）要利用（Ⅰ）、（Ⅱ）问的结论进行求证，利用不等式≤（2x-x2），对要证明的不等式左边的式子进行放缩，进行证明；
【解析】
（Ⅰ）因为f′（x）=-3x2-4mx-m2，所以f′（2）=-12-8m-m2=-5，
解得：m=-1或m=-7，又m＞-2，所以m=-1，…（2分）
由f′（x）=-3x2+4x-1，解得x1=1，x2=，列表如下：

x （-∞，） （，1） 1 （1，+∞）
f′（x） - + -
f（ x ） 减函数 极小值 增函数 极大值2 减函数

所以f（x）极小值=f（）=，f（x）极大值=f（1）=2，
因为f（x）=-x3+2x2-x+2=-（x-2）（x2+1），
所以函数f（x）的零点是x=2．                                       …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x∈[0，1]时，f（x）min=，
“对任意x1∈[0，1]时，存在x2∈（0，1]时，使f（x1）＞g（x2）”等价于“f（x）在[0，1]上的最小值大于g（x）在[0，1]上的最小值，
即当x∈（0，1]时，g（x）min”，…（6分）
因为g′（x）=-+=，
①当k＜0时，因为x∈（0，1]时，所以g（x）=，符合题意；
②当0＜k≤1时，≥1，所以x∈（0，1]时，g′（x）≤0，g（x）单调递减，
所以g（x）min=g（1）=0＜，符合题意；
③当k＞1时，0＜＜1，所以x∈（0，）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（，1）时，
g′（x），g（x）单调递增，所以x∈（0，1]时，g（x）min=g（）=1-+ln，
令φ（x）=lnx-x-（0＜x＜1），则φ′（x）=-1＞0，
所以φ（x）在（0，1）上单调递增，所以x∈（0，1）时，φ（x）＜φ（1）=-＜0，
即lnx-x＜，
所以g（x）min=g（）=1-+ln＜1+=，符合题意，
综上所述，若对任意x1∈[0，1]，存在x2∈（0，1]，，使f（x1）＞f（x2）成立，
则实数k的取值范围是（-∞，0）∪（0，+∞）．                           …（10分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当x∈[0，1]时，（x2+1）（2-x）≥，即
≤（2x-x2），
当a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1时，0≤a≤1，0≤b≤1，0≤c≤1，
所以++≤[2（a+b+c）-（a2+b2+c2）]=[2-（a2+b2+c2）]

又因为（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc≤3（a2+b2+c2），
所以a2+b2+c2≥，当且仅当a=b=c=时取等号，
所以++≤[2-（a2+b2+c2）]≤（2-）=，
当且仅当a=b=c=时取等号，…（14分）