Question

已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（-2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是k₁，k₂，且k₁•k₂=-．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）已知直线l：y=kx+m与曲线C交于M，N两点，且直线BM、BN的斜率都存在，并满足k_BM•k_BN=-，求证：直线l过原点．

Answer

（1）根据直线PA，PB的斜率分别是k1，k2，且k1•k2=-，建立方程，化简即可得到动点P的轨迹C的方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及kBM•kBN=-，求出m的值，即可得到结论．
（1）【解析】
由题意得•=-（x≠±2），即x2+4y2-4=0．
所以点P的轨迹C的方程为+y2=1（x≠±2）．
（2）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立方程，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2-4=0．
所以x1+x2=，x1x2=．
所以y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=．
又kBM•kBN=-，即•=-，
即x1x2-2（x1+x2）+4+4y1y2=0．
代入并整理得m（m+2k）=0，即m=0或m=-2k，
当m=0时，直线l恒过原点；
当m=-2k时，直线l恒过点（2，0），但不符合题意．
所以直线l恒过原点．