Question

如图，四棱锥P-ABCD的底ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E，F分别是AB，BC的中点N在轴上
（I）求证：PF⊥FD；
（II）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD．

Answer

（1）连接AF，证明DF⊥平面PAF，即可证得PF⊥FD．
（2）过E点作EH∥DF交AD于点H，过H点作HG∥PD，交PD于点G，连接EG，证明平面EHG∥平面PDF，得EG∥平面PDF，从而得点G得位置．
解析：（Ⅰ）连接AF，则AF=，DF=，
又AD=2，∴DF2+AF2=AD2，
∴DF⊥AF．
又PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD
∴DF⊥PA
又∵PA⊂平面PAF，AF⊂平面PAF，PA∩AF=A
∴DF⊥平面PAF
∵PF⊂平面PAF
∴PF⊥FD
（Ⅱ）如图，过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD且AH=AD．
再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=AP，
∵EH⊂平面EHG，HG⊂平面EHG，EH∩HG=H
∴平面EHG∥平面PFD．
∵EG⊂平面EHG
∴EG∥平面PFD．
从而满足AG=AP的点G为所求．