Question

设椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，上顶点为A，在x轴负半轴上有一点B，满足． 
（I）求椭圆C的离心率；
（II）若过A、B、F₂三点的圆恰好与直线相切，求椭圆C的方程．

Answer

（I）求出左、右焦点分别为F1、F2，上顶点为A的坐标，通过，推出a，b，c的关系，结合a2=b2+c2，即可求椭圆C的离心率；
（II）利用（I）求出过A、B、F2三点的圆的圆心与半径，利用圆与直线相切圆心到直线的距离等于半径，求出a，b，即可求椭圆C的方程．
【解析】
（I）由题意可知，F1（-c，0），F2（c，0），A（0，b），求椭圆C的离心率；
∵，可知F1为BF2的中点．
又AB⊥AF2，
∴Rt△ABF2中，BF22=AB2+AF22，
，
又a2=b2+c2，
∴a=2c．
故椭圆的离心率e=．
（II）由（I）知，，c=，于是F2（，0），B（），
RtABF2的外接圆圆心为F1（-，0），半径为r=a，
圆与直线相切，
∴，解得a=2，∴c=1，b=．
∴所求椭圆方程为．