Question

已知为正整数，试比较n²与2ⁿ的大小．

Answer

从n=1开始逐个验证，得出一般规律，猜想当n≥5时，n2＜2n，下面用数学归纳法证明即可．
【解析】
当n=1时，n2＜2n；           …（1分）
当n=2时，n2=2n；               …（2分）
当n=3时，n2＞2n；               …（3分
当n=4时，n2=2n；              …（4分）
当n=5时，n2＜2n； 当n=6时，n2＜2n；
猜想：当n≥5时，n2＜2n…（5分）
下面下面用数学归纳法证明：
（1）当n=5时，由上面的探求可知猜想成立  …（6分）
（2）假设n=k（k≥5）时猜想成立，即2k＞k2…（7分）
则2•2k＞2k2，
∵2k2-（k+1）2=k2-2k-1=（k-1）2-2
当k≥5时（k-1）2-2＞0，
∴2k2＞（k+1）2
从而2k+1＞（k+1）2
所以当n=k+1时，猜想也成立       …（9分）
综合（1）（2），对n∈N*猜想都成立      …（10分）