通过(a+b+c)(b+c-a)=3bc化简整理得b2-bc+c2=a2,利用余弦定理中求得cosB,进而求得B=60°,把B代入sinA=2sinB cosC中化简整理求得tanA,进而求得A,最后根据三角形内角和求得C,进而可判断三角形的形状.
【解析】
∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc
∴[(b+c)+a][(b+c)-a]=3bc
∴(b+c)2-a2=3bc
b2+2bc+c2-a2=3bc
b2-bc+c2=a2
根据余弦定理有a2=b2+c2-2bccosA
∴b2-bc+c2=a2=b2+c2-2bccosA
bc=2bccosA
cosA=
∴A=60°
sinA=2sinBcosC
sin(B+C)=2sinBcosC
∴sin(B-C)=0
B=C,∵A=60°,∴B=C=60°
∴△ABC是等边三角形.