Question

已知△ABC的内角A、B、C所对边分别为a，b，c，设向量，且
（1）求tanA•tanB的值；（2）求的最大值．

Answer

（1）利用两个向量的数量积公式以及两角和差余弦公式、同角三角函数的基本关系，求得tanAtanB的值．
（2）把余弦定理代入式子，再应用基本不等式求出式子的最大值．
【解析】
（1）∵，，
由已知  得： （1-cos（A+B））+=，
 即   （1-cos（A+B））+=，4cos（A-B）=5cos（A+B），
∴9sinAsinB=cosA cosB，tanAtanB=．
（2）== tanC=- tan（A+B）=-•=- （tanA+tanB）≤-•2=-，（当且仅当 A=B 时等号成立），
故  的最大值为-．