Question

如图，曲线段C是函数（x≥0）的图象，C过点P₁（1，1）．过P₁作曲线C的切线交x轴于Q₁点，过Q₁作垂直于x轴的直线交曲线C于P₂点，过P₂的切线交x轴于Q₂点，…，如此反复，得到一系列点Q₁，Q₂，…，Q_n，设Q_n（a_n，0）．
（1）求a₁；
（2）求a_n的表达式；
（3）证明：（n∈N^*）．

Answer

（1）求导函数，求得过P1切线方程，即可求得a1；
（2）确定过的切线方程，利用直线过Qn+1（an+1，0），可得an的表达式；
（3）证明，累加即可证得结论．
（1）【解析】
，则…（2分）
过P1切线方程：，可得，则．    …（4分）
（2）【解析】
，过的切线方程：，…（6分）
该直线过Qn+1（an+1，0），则
化简得，则…（8分）
（3）证明：，…（9分）
而4n+1＞2•2n=2n+1，故…（11分）
所以==
所以…（14分）