Question

已知函数＞0，ω＞0，0＜ϕ＜，且y=f（x）的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）．
（1）求ϕ；
（2）计算f（1）+f（2）+…+f（2012）．

Answer

（1）通过函数的最大值，求出A，利用图象相邻两对称轴间的距离为2，求出函数的周期，通过函数图象过点（1，2）．求ϕ；
（2）利用（1）推出函数的解析式，通过函数的周期求出一个周期内的函数值，然后求f（1）+f（2）+…+f（2012）．
【解析】
（1）因为，y=f（x）的最大值为2，A＞0，，∴A=2
∵图象相邻两对称轴间的距离为2，ω＞0，，ω=．
又函数过点（1，2）．∴cos（ϕ）=-1，
ϕ=2kπ+π，k∈Z，∴ϕ=k，k∈Z．∵0＜ϕ＜，所以ϕ=．
（2）∵ϕ=，∴f（x）=1-cos（）=1+sin．
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4．
又易知y=f（x）的周期是4，2012=4×503，
∴f（1）+f（2）+…+f（2012）=4×503=2012．