Question

已知（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，且a+a₁+a₂+…+a_n=126，那么的展开式中的常数项为    ．

Answer

先把x=1代入（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=a+a1x+a2x2+…+anxn，再结合a+a1+a2+…+an=126，求出n．
再求出的展开式中的通项，令x的指数为0求出r，再代入通项公式即可求出的展开式中的常数项．
【解析】
因为（1+x）+（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）n=a+a1x+a2x2+…+anxn，
令x=1得：2+22+23+…+2n=a+a1+a2+…+an，
∵a+a1+a2+…+an=126，
∴2+22+23+…+2n==126
即2n+1=128=27．
解得n=6．
所以的展开式中的通项为：=（-1）r36-r•C6r•．
令=0，得r=3．
所以的展开式中的常数项为：（-1）3•33•C63=-540．
故答案为：-540．