Question

已知函数（a为实常数，且a＞1）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求导函数，由导数的正负，可得函数的单调性；
（Ⅱ）当x≥0时，f（x）＞0恒成立，即当x≥0时，f（x）min＞0恒成立，由此可求a的取值范围；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，1＜a＜6．作差，可知g（a）在（1，6）上是增函数，从而可求的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）f'（x）=x2-2（1+a）x+4a=（x-2）（x-2a）．
因为a＞1，所以2a＞2．
由f'（x）＞0，得x＜2，或x＞2a；由f'（x）＜0，得2＜x＜2a．
所以f（x）在（-∞，2）和（2a，+∞）上是增函数；在[2，2a]上是减函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x≥0时，f（x）在x=2a或x=0处取得最小值．
∴，即，∴1＜a＜6．
故a的取值范围是（1，6）．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，1＜a＜6．
令，设a1，a2∈（1，6），且a1＜a2则
=．
∵a1，a2∈（1，6），且a1＜a2，
∴a1-a2＜0，a1a2＞0，2a1a2-1＞0．
∴g（a1）-g（a2）＜0，即g（a1）＜g（a2）．
∴g（a）在（1，6）上是增函数．
又因，所以的取值范围是．