Question

如图，将长，宽AA₁=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图所示：
（1）求平面APQ与底面ABC所成二面角的正切值；
（2）求三棱锥A₁-APQ的体积．

Answer

（1）由题设知三棱柱ABC-是正三棱柱，且侧棱AA1=3，底面边长为，BP=1，CQ=2，由此能求出平面APQ与底面ABC所成二面角的正切值．
（2）连接A1P，由△A1AP的面积为，知点Q到平面A1AP的距离为，利用=，能求出三棱锥A1-APQ的体积．
【解析】
（1）将长，宽AA1=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，
∴三棱柱ABC-是正三棱柱，且侧棱AA1=3，
底面边长为，BP=1，CQ=2，
延长QP交BC的延长线于点E，连接AE，
则AE⊥AC于A，QA⊥AE，
∴∠QAC为平面APQ与平面ABC所成的锐二面角的平面角，
∵AC=，
∴tan∠QAC===，
∴平面APQ与底面ABC所成二面角的正切值为．
（2）连接A1P，
△A1AP的面积为，点Q到平面A1AP的距离为，
则===．