Question

已知方程x²+y²-2x-4y+m=0
（1）若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M、N两点，且坐标原点O在以MN为径的圆上，求实数m的值．

Answer

（1）将方程化为圆的标准方程，即可求实数m的取值范围；
（2）直线方程代入圆的方程，利用韦达定理及向量知识，即可求得实数m的值．
【解析】
（1）方程x2+y2-2x-4y+m=0可化为（x-1）2+（y-2）2=5-m
∵方程表示圆，
∴5-m＞0，即m＜5；
（2）直线x+2y-4=0代入圆的方程，消去x可得：5y2-16y+8+m=0
∵△＞0，∴m＜，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=
∴x1x2=（4-2y1）（4-2y2）=16-8（y1+y2）+4y1y2=
∵坐标原点O在以MN为径的圆上，
∴
∴x1x2+y1y2=0
∴+=0
∴m=．