Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（其中c是非零常数），n=1，2，3，…），a₁，a₂，a₃成公比不为1的等比数列
（1）求常数c的值；
（2）数列{}的前n项和为S_n，求证：．

Answer

（Ⅰ）由题意，知a1=2，a2=2+c，a3=2+3c，由a1，a2，a3成等比数列，能求出c的值．
（Ⅱ）当n≥2时，a2-a1=c，a3-a2=2c，…，an-an-1=（n-1）c，所以an-a1=[1+2+3+…+（n-1）]
【解析】
（1）∵a1=2，an+1=an+cn
∴a2=2+c，a3=2+3c
∵a1，a2，a3成公比不为1的等比数列
∴（2+c）2=2（2+3c）
∵c≠0
∴c=2
（2）由（1）可得，an+1=an+2n
∴a2-a1=2
a3-a2=4
…
an-an-1=2（n-1）
以上n-1个式子叠加可得，an-a1=2+4+…+2（n-1）
∴=n（n-1）+2
∴
＜
=
=