已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极...

已知曲线C₁的参数方程是 manfen5.com 满分网

（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程是ρ=2．正三角形ABC的顶点都在C₂上，且A、B、C以逆时针次序排列，点A的极坐标为（2， manfen5.com 满分网

）
（Ⅰ）求点A、B、C 的直角坐标；
（Ⅱ）设P为C₁上任意一点，求|PA|²+|PB|²+|PC|²的取值范围．

（Ⅰ）根据点A、B、C都在以原点为圆心、以2为半径的圆上，x轴的正半轴到0A、OB、OC的角分别为、、，从而求得他们的直角坐标．（2）设点P（2cos∅，3sin∅），令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2，则 S=12cos2∅+27sin2∅+12=15sin2∅+24，再由正弦函数的有界性，求得|PA|2+|PB|2+|PC|2的取值范围．【解析】（Ⅰ）由已知可得：A（2cos，2sin）、B（ 2cos（），2sin（））、C（ 2cos（），2sin（））．即：A（1，）、B（-2，0）、C（1，-）．（2）设点P（2cos∅，3sin∅），令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2，则 S=12cos2∅+27sin2∅+12=15sin2∅+24，因为0≤sin2∅≤1，所以S的取值范围是：[24，39]．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等