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满分5
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高中数学试题
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在数列{an}中,已知a1=-1,an+1=Sn+3n-1(n∈N*) ①求数列...
在数列{a
n
}中,已知a
1
=-1,a
n+1
=S
n
+3n-1(n∈N
*
)
①求数列{a
n
}的通项公式
②若b
n
=3
n
+(-1)
n-1
•λ•(a
n
+3)(λ为非零常数),问是否存在整数λ使得对任意n∈N
*
都有b
n+1
>b
n
?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
①由已知,得an=Sn-1+3n-4(n≥2),利用an与sn的关系,两式相减,an+1+3=2(an+3)(n≥2),初步判断新数列{an+3}具有等比数列的性质,再考虑n=1的情形. ②写出数列{bn}的通项,首先假设存在λ使得满足题意,然后计算化简bn+1-bn,再结合恒成立问题进行转化,将问题转化为:对任意的n∈N*恒成立.然后分n为奇偶数讨论即可获得λ的范围,再结合为整数即可获得问题的解答. 【解析】 (1)由an+1=Sn+3n-1(n∈N*)① 得an=Sn-1+3n-4(n≥2)② ①-②得an+1=2an+3(n≥2) ∴an+1+3=2(an+3)(n≥2) 又由②得 a2=S1+6-4=a1+2=1 ∴a2+3=4 ∴a2+3=2(a1+3) ∴an+1+3=2(an+3)(n≥1) ∴数列{an+3}是首项为2,公比为2的等比数列 ∴an+3=2×2n-1=2n ∴数列{an}的 an=2n-3(n≥1) (2)由(1)可得 bn=3n+(-1)n-1•λ•2n bn+1=3n+1+(-1)n•λ•2n+1 要使bn+1>bn恒成立,只需bn+1-bn=2•3n-3λ•(-1)n-1•2n>0恒成立, 即恒成立 当n为奇数时,恒成立 而的最小值为1∴λ<1(10分) 当n为偶数时,恒成立 而最大值为∴(12分) 即λ的取值范围是1>,且λ≠1 又λ为整数. ∴存在λ=-1或0,使得对任意n∈N*都有bn+1>bn.
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考点分析:
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已知数列{a
n
}满足a
,且对任意n∈N
*
,都有
.
(1)求证:数列{
}为等差数列,并求{a
n
}的通项公式;
(2)令b
n
=a
n
•a
n+1
,T
n
=b
1
+b
2
+b
3
+…+b
n
,求证:
.
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某地区位于沙漠边缘地带,到2010年年底该地区的绿化率只有30%,计划从2011年开始加大沙漠化改造的力度,每年原来沙漠面积的16%将被植树改造为绿洲,但同时原有绿洲面积的4%还会被沙漠化.设该地区的面积为1,2010年年底绿洲面积为a
1
=
,经过一年绿洲面积为a
2
,…,经过n年绿洲面积为a
n+1
,
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n+1
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已知数列{a
n
}满足a
1
=1,且a
n
=2a
n-1
+2
n
.(n≥2且n∈N*).
(1)求数列{a
n
}的通项公式;
(2)设数列{a
n
}的前n项之和S
n
,求S
n
.
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数列
是递增的等比数列,且b
1
+b
3
=5,b
1
b
3
=4,
(1)求数列{b
n
}的通项公式;
(2)若a
n
=log
2
b
n
+3,求证:数列{a
n
}是等差数列.
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在△ABC中,BC=a,AC=b,且a,b是方程
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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