Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底面ABCD对角线的交点．
（1）求直线BC₁和平面AA₁C₁C所成的角；
（2）求证：平面AA₁C₁C⊥平面AB₁D₁．

Answer

（1）要求BC1和平面AA1C1C所成的角，需找到过BC1上某点垂直于平面AA1C1C的直线（BD满足），再由线面所成角的定义即可求得答案；
（2）利用BD∥B1D1与面面垂直的判定定理即可获证．
【解析】
（1）设正四面体边长为a，
∵AC⊥BD，AA1⊥BD，AC∩AA1=A，
∴BD⊥平面AA1C1C，垂足为点O，
则BC1和平面AA1C1C所成的角即为BD与OC1所成的角．
∵BC1=a，BD=a
∴∠BC1D=30°
即BC1和平面AA1C1C所成的角为30°；
（2）证明：∵BD∥B1D1，
∴由（1）知B1D1⊥平面AA1C1C，
∴平面AB1D1⊥平面AA1C1C．