Question

若函数y=f（x）对任意的x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，恒有f（x）＜0
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；               
（2）判断函数f（x）的单调性并证明；
（3）若f（2）=1，解不等式f（-x²）+2f（x）+4＜0．

Answer

（1）令x=y=0，代入已知式并整理，可得f（0）=0．在已知等式中取y=-x，化简整理可得f（-x）=-f（x），从而得到函数f（x）是奇函数；
（2）用-y代替y，结合函数为奇函数证出f（x-y）=f（x）-f（y）．由此证出当x1＜x2时，f（x1-x2）=f（x1）-f（x2）＞0，从而得到函数f（x）在R上是单调减函数；
（3）求出f（8）=4，-[f（-x2）+2f（x）]=f（x2-2x），从而将原不等式转化成f（8）＜f（x2-2x），然后根据函数的单调性得到关于x的一元二次不等式，解之即可得到原不等式的解集．
【解析】
（1）令x=y=0，可知f（0+0）=f（0）+f（0），解之得f（0）=0，
∴0=f（0）=f（-x+x）=f（-x）+f（x），移项得f（-x）=-f（x）
所以函数f（x）是奇函数；
（2）根据题意，得f（x-y）=f（x）+f（-y），
因为函数（x）是奇函数，得f（x-y）=f（x）-f（y）
设x1、x2∈R，且x1＜x2，得f（x1-x2）=f（x1）-f（x2）
∵当x＞0时，恒有f（x）＜0．x1-x2＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0，得f（x1）＜f（x2）
所以函数f（x）在R上是单调减函数；
（3）不等式f（-x2）+2f（x）+4＜0，
即4＜-[f（-x2）+2f（x）]，也就是4＜-f（-x2+2x）
∵f（2）=1，得f（8）=f（4）+f（4）=4f（2）=4
-f（-x2+2x）=f（x2-2x），且f（x）在R上是单调减函数，
∴原不等式可化为f（8）＜f（x2-2x），得8＞x2-2x，解之得-2＜x＜4
所以原不等式的解集为（-2，4）