Question

已知函数f（x）=x²-ax+（a-1）lnx，a＞1．
（1）若a＞2，讨论函数f（x）的单调性；
（2）已知a=1，g（x）=2f（x）+x³，若数列{a_n}的前n项和为S_n=g（n），证明：（n≥2，n∈N₊）．

Answer

（1）利用导数研究函数的单调区间，注意极值点大小的比较；
（2）把a=1代入f（x）再代入g（x），利用公式an=sn-sn-1，求出an的通项的公式，再利用放缩法进行证明；
【解析】
（1）函数f（x）=x2-ax+（a-1）lnx，a＞1．
根据对数函数的性质，可得x＞0，
∴f′（x）=x-a+=，
∵a＞2，∴a-1＞1，
则f（x）在（1，a-1）上f′（x）＜0，f（x）为减函数；
f（x）在（0，1），（a-1，+∞）上f′（x）＞0，f（x）为增函数；
（2）已知a=1，可得f（x）=x2-x，∵g（x）=2f（x）+x3=x3+x2-2x，
∵数列{an}的前n项和为Sn=g（n），
∴Sn=g（n）=n3+n2-2n，∵an=sn-sn-1，（n≥2）
∴an=n3+n2-2n-[（n-1）3+（n-1）2-2（n-1）]=3n2-n-2，
∴an=，
∴an=3n2-n-2，
=＜=（-），
∴[1-+-+…+-]=（1-）＜