Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，BB₁=BC=6，D，E分别是AA₁和B₁C的中点
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求三棱锥E-BCD的体积．

Answer

（1）取BC中点G，连接AG，EG，通过证明四边形EGAD是平行四边形，推出ED∥AG，然后证明DE∥平面ABC．
（2）证明AD∥平面BCE，利用VE-BCD=VD-BCE=VA-BCE=VE-ABC，然后求解几何体的体积．
【解析】
（1）证明：取BC中点G，连接AG，EG，
因为E是B1C的中点，所以EG∥BB1，
且．
由直棱柱知，AA1∥BB1，AA1=BB1，而D是AA1的中点，
所以EG∥AD，EG=AD（4分）
所以四边形EGAD是平行四边形，
所以ED∥AG，又DE⊄平面ABC，AG⊂平面ABC
所以DE∥平面ABC．  （7分）
（2）【解析】
因为AD∥BB1，所以AD∥平面BCE，
所以VE-BCD=VD-BCE=VA-BCE=VE-ABC，（10分）
由（1）知，DE∥平面ABC，
所以．（14分）