Question

已知点B_n（n，y_n），…（n∈N₊）是某直线l上的点，以B_n为圆心作圆．所作的圆与x轴交于A_n和A_n+1两点，记A_n、A_n+1的横坐标分别为x_n、x_n+1．其中x₁=a（0＜a≤1）
（1）证明：x_n+2-x_n是常数，并求数列{x_n}的通项公式；
（2）若l的方程为中是否存在直角三角形，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据△AnBnAn+1构成以Bn（n，yn）这顶点的等腰三角形，可得，然后利用递推关系可得xn+2-xn是常数，最后讨论n的奇偶，可求出数列{xn}的通项公式；
（2）先分别求出|AnAn+1|与|BnCn|，要使△AnBnAn+1为直角三角形当且仅当|AnAn+1|=2|BnCn|，然后建立方程解之即可．
【解析】
（1）因△AnBnAn+1构成以Bn（n，yn）这顶点的等腰三角形，
∴即xn+xn+1=2n（n∈N+）（1）
从而xn+1+xn+2=2（n+1）（2）
由（2）-（1）得，xn+2-xn=2，为常数．
显然x1，x3，x5，…x2n-1，…及x2，x4，x6，…x2n，…分别成等差数列．
∴x2n-1=x1+（n-1）×2=（2n-1）+a-1，x2n=x2+2（n-1）=（2-a）+2n-2，（n∈N+）
∴
（2）当n为奇数时，An（n+a-1，0），An+1（n+1-a，0），∴|AnAn+1|=2（1-a）
当n为偶数时，An（n-a，0），An+1（n+a，0），∴|AnAn+1|=2a．
作BnCn⊥x轴于Cn，由于点Bn（n，yn）在直线l上，
∴即．
要使△AnBnAn+1为直角三角形当且仅当|AnAn+1|=2|BnCn|，
∴当n为奇数时，有，即12a=11-3n，（※）
当n=1时，a=，当n=3时，a=，当n≥5时，方程（※）无解．
当n为偶数时，有12a=3n+1，同时可得a=．
综上所述，当a=或a=或a=，存在直角三角形．