Question

如图所示，在直角梯形ABCD中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD=2．E，F，G分别为线段PC，PD，BC的中点，现将△PDC折起，使平面PDC⊥平面ABCD．
（1）求证：AP∥平面EFG；
（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，试给出证明．

Answer

（1）证明EF∥平面PAB，同理EG∥平面PAB，从而得到平面PAB∥平面EFG，而PA在平面PAB内，故有PA∥平面EFG．
 （2）取PB中点为Q，则Q满足题意．先判断A、D、E、Q四点共面，证明AD⊥PC，DE⊥PC，可证得PC⊥面ADEQ．
（1）证明：∵PE=EC，PF=FD，故EF是△PDC的中位线，∴EF∥CD．  又 CD∥AB，∴EF∥AB，
∴EF∥平面PAB，同理EG∥平面PAB．  又∵EF∩EG=E，∴平面PAB∥平面EFG，而PA在平面PAB内，
∴PA∥平面EFG．
（2）取PB中点为Q，则Q满足题意．
证明：由中点可知：EQ∥BC，而AD∥BC，∴EQ∥AD，
∴A、D、E、Q四点共面．
∵CD⊥AD，面PDC⊥面ABCD于CD，AD在平面ABCD内，
∴AD⊥平面PDC，AD⊥PC，又PD=DC，∠PDC=90°，
∴△PDC为等腰直角三角形，∵PE=EC，∴DE⊥PC，AD∩DE=D，
∴PC⊥面ADEQ．∴Q为PB的中点时，PC⊥面ADQ．