(Ⅰ)先证明AD⊥PE,再证明PE⊥AB.AD∩AB=A,推出PE⊥平面ABCD.然后证明PE⊥CD.
(Ⅱ)说明PE是四棱锥P-ABCD的高.求出PE=.然后求出.
(Ⅲ)以E为原点,建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz.推出,,.设=(x,y,z)为平面PDE的法向量.利用由即,可得=(1,-2,0).设PC与平面PDE所成的角为θ.利用.推出PC与平面PDE所成角的正弦值为.
(Ⅰ)证明:因为AD⊥侧面PAB,PE⊂平面PAB,
所以AD⊥PE.(2分)
又因为△PAB是等边三角形,E是线段AB的中点,
所以PE⊥AB.
因为AD∩AB=A,
所以PE⊥平面ABCD.(4分)
而CD⊂平面ABCD,
所以PE⊥CD.(5分)
(Ⅱ)【解析】
由(Ⅰ)知:PE⊥平面ABCD,所以PE是四棱锥P-ABCD的高.
由DA=AB=2,BC=AD,可得BC=1.
因为△PAB是等边三角形,
可求得PE=.
所以.(9分)
(Ⅲ)【解析】
以E为原点,建立如图所示的空间直角坐标系E-xyz.
则E(0,0,0),C(1,-1,0),D(2,1,0),P(0,0,).
,,.
设=(x,y,z)为平面PDE的法向量.
由即,
令X=1,可得m=(1,-2,0).(12分)
设PC与平面PDE所成的角为θ.
.
所以PC与平面PDE所成角的正弦值为.(14分)