Question

已知直线l与椭圆交于两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为，向量=（ax₁，by₁），=（ax₂，by₂），且⊥，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）判断△AOB的面积是否为定值，如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）利用椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为，确定椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）先利用向量知识，可得4x1x2+y1y2=0，再分类讨论，求出面积，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）由题意可知，∴，∴b2=a2-c2=1
∴椭圆的方程为；
（Ⅱ）△AOB的面积为定值1．
∵，∴a2x1x2+b2y1y2=0，∴4x1x2+y1y2=0
①若直线l斜率不存在，设直线l的方程为x=p，则x1=x2=p，y1=-y2，
∵4x1x2+y1y2=0，∴
∵，∴
∴S△AOB==1；
②若直线l斜率存在，设直线l的方程为y=kx+r，代入椭圆方程，可得（4+k2）x2+2krx+r2-4=0
∴x1+x2=-，x1x2=
∵4x1x2+y1y2=0
∴（4+k2）x1x2+kr（x1+x2）+r2=0
∴r2-4-+r2=0
∴2r2=4+k2，∴r2≥2
∴△=16（k2-r2+4）＞0
设原点O到直线l的距离为d，则S△AOB=d•|AB|=×=
综上可知，△AOB的面积为定值1．