Question

已知函数f（x）=（1+x）²-aln（1+x）²在（-2，1）上是增函数，在（-∞，-2）上是减函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若x∈[-1，e-1]时，f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（1）已知函数f（x）=（1+x）2-aln（1+x）2在（-2，1）上是增函数，在（-∞，-2）上是减函数，f（x）在x=-2处取得极值点，可得f′（-2）=0利用方程求出a值，从而求解；
（2）利用导数研究函数f（x）的最值，求出f（x）在x∈[-1，e-1]的最值，要使f（x）＜m恒成立，只要求出f（x）的最大值小于m即可，从而求出m的取值范围；
【解析】
（1）∵函数f（x）=（1+x）2-aln（1+x）2，
∴f′（x）=2x+2-=2（x+1）-
∵函数f（x）=（1+x）2-aln（1+x）2在（-2，1）上是增函数，在（-∞，-2）上是减函数
f（x）在x=-2处取得极值，
依题意得f′（2）=-2+2a=0，所以a=1，从而f（x）=（x+1）2-ln（x+1）2，
…．（6分）
（2）f′（x）==，
令f′（x）=0，得x=0或x=-2（舍去），
f（x）在递减，在[0，e-1]递增，
且，所以m＞f（e-1）=e2-2…（12分）