Question

中心在坐标原点、焦点在x轴上的椭圆，它的离心率为，与直线x+y-1=0相交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过坐标原点，求椭圆方程．

Answer

设椭圆方程+=1（a＞b＞0），依题意椭圆方程可转化为+=1，与直线x+y-1=0联立，设M（x1，y1）、N（x2，y2），利用OM⊥ON可得x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得到关于b的关系式，从而可求得b2与a2．
【解析】
设椭圆方程+=1（a＞b＞0），
∵e=，
∴a2=4b2，即a=2b．
∴椭圆方程为+=1．把直线方程代入化简得5x2-8x+4-4b2=0．
设M（x1，y1）、N（x2，y2），
则x1+x2=，x1x2=（4-4b2），
∴y1y2=（1-x1）（1-x2）
=1-（x1+x2）+x1x2
=（1-4b2）．
∵OM⊥ON，
∴x1x2+y1y2=0，
解得b2=，a2=．
∴椭圆方程为x2+y2=1．