Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂a_n=S₂+S_n对一切正整数n都成立．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）设a₁＞0，数列的前n项和为T_n，当n为何值时，T_n最大？并求出T_n的最大值．

Answer

（I）由题意，n=2时，由已知可得，a2（a2-a1）=a2，分类讨论：由a2=0，及a2≠0，分别可求a1，a2
（II）由a1＞0，令，可知==，结合数列的单调性可求和的最大项
【解析】
（I）当n=1时，a2a1=s2+s1=2a1+a2①
当n=2时，得②
②-①得，a2（a2-a1）=a2③
若a2=0，则由（I）知a1=0，
若a2≠0，则a2-a1=1④
①④联立可得或
综上可得，a1=0，a2=0或或
（II）当a1＞0，由（I）可得
当n≥2时，，
∴
∴（n≥2）
∴=
令
由（I）可知==
∴{bn}是单调递减的等差数列，公差为-lg2
∴b1＞b2＞…＞b7=
当n≥8时，
∴数列的前7项和最大，==7-