Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，
AB=AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且
（1）判断EF与平面PBC的关系，并证明；
（2）当λ为何值时，DF⊥平面PAC？并证明．

Answer

（1）作FG∥BC交CD于G，根据线段间的比例关系可得 ，PC∥EG，得到平面PBC∥平面EFG，
从而得到EF∥平面PBC．
（2）当λ=1时，DF⊥平面PAC．证明∠AFD=∠CAD，AC⊥DF，PA⊥DF，可得 DF⊥平面PAC．
【解析】
（1）作FG∥BC交CD于G，连接EG，则 ，，∴，
∴PC∥EG．又FG∥BC，BC∩PC=C，FG∩GE=G，∴平面PBC∥平面EFG．又EF不在平面PBC内，
∴EF∥平面PBC．
（2）当λ=1时，DF⊥平面PAC．
证明如下：∵λ=1，则F为AB的中点，又AB=AD，AF=，
∴在 Rt△FAD 与 Rt△ACD中，，
∴∠AFD=∠CAD，∴AC⊥DF，又PA⊥平面ABCD，DF⊂平面ABCD，
∴PA⊥DF，∴DF⊥平面PAC．