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已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)•f(y),且f(-1)...

已知函数f(x)对任意实数x、y都有f(xy)=f(x)•f(y),且f(-1)=1,f(27)=9,当0≤x<1时,0≤f(x)<1.
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)判断f(x)在[0,+∞)上的单调性,并给出证明;
(3)若a≥0且f(a+1)≤manfen5.com 满分网,求a的取值范围.
(1)利用赋值法,令y=-1,代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性; (2)先证明当x>0时,f(x)>0,再利用已知和单调函数的定义,证明函数f(x)在[0,+∞)上的单调性; (3)先利用赋值法求得f(3)=,再利用函数的单调性解不等式即可 【解析】 【解析】 (1)令y=-1,则f(-x)=f(x)•f(-1), ∵f(-1)=1,∴f(-x)=f(x),且x∈R ∴f(x)为偶函数. (2)若x≥0,则f(x)==•=[]2≥0. 若存在x>0,使得f(x)=0,则,与已知矛盾, ∴当x>0时,f(x)>0 设0≤x1<x2,则0≤<1, ∴f(x1)==•f(x2), ∵当x≥0时f(x)≥0,且当0≤x<1时,0≤f(x)<1. ∴0≤<1, ∴f(x1)<f(x2), 故函数f(x)在[0,+∞)上是增函数. (3)∵f(27)=9,又f(3×9)=f(3)•f(9)=f(3)•f(3)•f(3)=[f(3)]3, ∴9=[f(3)]3, ∴f(3)=, ∵f(a+1)≤, ∴f(a+1)≤f(3), ∵a≥0, ∴(a+1)∈[0,+∞),3∈[0,+∞), ∵函数在[0,+∞)上是增函数. ∴a+1≤3,即a≤2, 又a≥0, 故0≤a≤2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
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