Question

非空集合G关于运算㊉满足：①对任意a、b∈G，都有a㊉b∈G：；②存在e∈G，对一切a∈G，都 有a㊉e=e㊉a=a，则称G关于运算㊉为“和谐集”，现给出下列集合和运算：
①G={非负整数}，㊉为整数的加法；
②G={偶数}，㊉为整数的乘法；
③G={平面向量}，㊉为平面向量的加法；
④G={二次三项式}，㊉为多项式的加法．
其中关于运算㊉为“和谐集”的是    （写出所有“和谐集”的序号）．

Answer

利用G关于运算㊉为“和谐集”的定义，分别对四个集合及相应的运算验证两点：①对任意a、b∈G，都有a㊉b∈G：；②存在e∈G，对一切a∈G，都 有a㊉e=e㊉a=a，
【解析】
对于①，a、b∈{非负整数}，都有a+b∈{非负整数}并且a+0=0+a=a，所以①中的G关于运算+为“和谐集”，
对于②，对任意a、b∈{偶数}，都有ab∈{偶数}，但不存在e∈{偶数}，对一切a∈{偶数} 有ae=ea=a，所以②中的G关于运算乘法不为“和谐集”，
对于③，对任意∈{平面向量}，都有∈{平面向量}，并且，所以③中的G关于运算+为“和谐集”，
对于④，对任意a、b∈{二次三项式}，不一定有a+b∈{二次三项式}，所以④中的G关于运算乘法不为“和谐集”，
故答案为①③