Question

已知函数f（x）=x³+ax²+2（a∈R）且曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线斜率为0．
求：（Ⅰ）a的值；
（Ⅱ）f（x）在区间[-1，3]上的最大值和最小值．

Answer

（I）先求导函数，然后根据曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线斜率为0可得f'（2）=0，然后解方程即可；
（II）先求f'（x）=0的值，然后当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况列表，最后根据表格求出函数的最值即可．
【解析】
（Ⅰ）∵f'（x）=3x2+2ax，而曲线y=f（x）在点（2，f（2））处切线斜率为0
∴f'（2）=0…（4分）
∴3×4+4a=0∴a=-3…（6分）
（Ⅱ）f（x）=x3-3x2+2，f'（x）=3x2-6x
令f'（x）=0得x1=0，x2=2…（9分）
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表

x -1 （-1，0） （0，2） 2 （2，3） 3
f'（x） + - +
f（x） -2 ↗ 2 ↘ -2 ↗ 2

…（11分）
从上表可知，最大值是2，最小值是-2．…（12分）