Question

如图，已知中心在原点且焦点在x轴上的椭圆E经过点A（3，1），离心率．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点A且斜率为1的直线交椭圆E于A、C两点，过原点O与AC垂直的直线交椭圆E于B、D两点，求证A、B、C、D四点在同一个圆上．

Answer

（1）设出椭圆的方程，利用椭圆E经过点A（3，1），离心率，可求椭圆的几何量，从而可得椭圆E的方程；
（2）确定B，C，D的坐标，求出过这三点的圆，验证A满足方程即可．
（1）【解析】
设椭圆方程为（a＞b＞0），因为离心率，所以a2=3b2，…（2分）
所以椭圆方程为，
又因为经过点A（3，1），则，…（4分）
所以b2=4，所以a2=12，属于椭圆的方程为．…（6分）
（2）证明：直线AC的方程为y=x-2，与椭圆方程联立，可得x2-3x=0，∴x=0或x=3，∴C（0，-2）
直线BD的方程为y=-x，与椭圆方程联立，可得x2=3，∴x=，∴B（），D（）
设经过B，C，D三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则有
∴D=-1，E=-1，F=-6，∴圆的方程为x2+y2-x-y-6=0，
∵点A（3，1）也适合，∴A（3，1）在圆上，
∴A、B、C、D四点在同一个圆上．