Question

已知函数f（x）=x³-3ax²-9a²x（a≠0）．
（1）当a=l时，解不等式f（x）＞0；
（2）若方程f（x）=12lnx-6ax-9a²-a在[1，2]恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围（注：ln2≈0.69）：
（3）当a＞0时，若f（x）在[0，2]的最大值为h（a），求h（a）的表达式．

Answer

（1）当a=l时，不等式f（x）＞0即x3-3x2-9x＞0，将左边因式分解，并利用一元二次不等式的解法结合分类讨论，可得不等式f（x）＞0的解集；
（2）对f（x）求导数，将方程f'（x）=12lnx-6ax-9a2-a化简整理，得a=12lnx-3x2，再通过构造函数m（x）=12lnx-3x2，讨论y=m（x）在[1，2]上的单调性，求得函数y=m（x）的极大值并比较区间端点的值，可得满足条件的a的取值范围；
（3）因为a＞0且f'（x）=3x2-6ax-9a2=3（x+a）（x-3a），得（0，3a）上是减函数，（3a，+∞）上是增函数．因此当3a≥2时，f（x）在[0，2]上是减函数，最大值h（a）=f（0）；当3a＜2时，f（x）在[0，3a）上是减函数，在（3a，2]上是增函数，比较f（2）与f（0）的大小可得最大值的表达式．最后综合以上所述，即可得到f（x）在[0，2]的最大值h（a）的表达式．
解（1）当a=l时，不等式f（x）＞0即x3-3x2-9x＞0，
化简得x（x2-3x-9）＞0，
∴或，
解之得或
所以当a=l时，解不等式f（x）＞0的解集为（）∪（）．…（2分）
（2）∵函数f（x）=x3-3ax2-9a2x的导数为：f'（x）=3x2-6ax-9a2，
∴方程f'（x）=12lnx-6ax-9a2-a整理得a=12lnx-3x2，令m（x）=12lnx-3x2，则
m'（x）==，（x∈[1，2]）．…（4分）
当x∈[1，）时，m'（x）＞0；当x∈（，2]时，m'（x）＜0，
∴函数y=m（x）在区间[1，）上是增函数，在（，2]上是减函数…（6分）
又∵m（1）=-3，m（2）=12（ln2-1）＜-3，m（）=6（ln2-1）
∴当x∈[1，2]时，方程f'（x）=12lnx-6ax-9a2-a恰好有两个相异的实根实数
的a的取值范围为[-3，6（ln2-1））．…（8分）
（3）函数f（x）=x3-3ax2-9a2x的导数为：f'（x）=3x2-6ax-9a2=3（x+a）（x-3a）
∵a＞0，∴当x∈（0，3a）时，f'（x）＜0；当x∈（3a，+∞）时，f'（x）＞0
∴函数在（0，+∞）上的单调性是：（0，3a）上是减函数，（3a，+∞）上是增函数．
∈（0，3a）时当3a≥2时，即a≥时，f（x）在[0，2]上是减函数，最大值h（a）=f（0）=0
当3a＜2时，即0＜a＜时，f（x）在[0，3a）上是减函数，在（3a，2]上是增函数
∵f（2）=8-12a-18a2，当0＜a＜时f（2）＞f（0），≤a＜时f（2）≤f（0），
∴当0＜a＜时，f（x）最大值h（a）=f（2）=8-12a-18a2；
当≤a＜时，f（x）最大值h（a）=f（0）=0
综上所述，当a＞0时，f（x）在[0，2]的最大值h（a）的表达式为：
h（x）=．