Question

设函数f（x）是定义在（-∞，+∞）上的增函数，是否存在这样的实数a，使得不等式f（1-ax-x²）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]都成立？若存在，试求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

解法一：由条件得1-ax-x2＜2-a对于x∈[0，1]恒成立，令g（x）=x2+ax-a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可，分类讨论，求最值即可求出实数a的取值范围；
解法二：由1-ax-x2＜2-a，得（1-x）a＜x2+1，对x讨论，再分离参数，求最值，即可求出实数a的取值范围．
解法一：由条件得1-ax-x2＜2-a对于x∈[0，1]恒成立
令g（x）=x2+ax-a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可．
g（x）=x2+ax-a+1=（x+）2--a+1．
①当-＜0，即a＞0时，g（x）min=g（0）=1-a＞0，∴a＜1，故0＜a＜1；
②当0≤-≤1，即-2≤a≤0时，g（x）min=g（-）=--a+1＞0，∴-2-2＜a＜-2+2，故-2≤a≤0；
③当-＞1，即a＜-2时，g（x）min=g（1）=2＞0，满足，故a＜-2．
故存在实数a，使得不等式f（1-ax-x2）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]都成立，其取值范围是（-∞，1）．
解法二：由1-ax-x2＜2-a得（1-x）a＜x2+1，
∵x∈[0，1]，∴1-x≥0，
∴①当x=1时，0＜2恒成立，此时a∈R；
②当x∈[0，1）时，a＜恒成立．
求当x∈[0，1）时，函数y=的最小值．
令t=1-x（t∈（0，1]），则y===t+-2，
而函数y=t+-2是（0，1]上的减函数，所以当且仅当t=1，即x=0时，ymin=1．
故要使不等式在[0，1）上恒成立，只需a＜1，
由①②得a＜1．
故存在实数a，使得不等式f（1-ax-x2）＜f（2-a）对于任意x∈[0，1]都成立，其取值范围是（-∞，1）．