Question

设，定义使a₁a₂a₃…a_k为整数的数k（k∈N^*）叫做数列{a_n}的企盼数，则区间[1，2009]内的所有企盼数的和为    ．

Answer

先利用换底公式与叠乘法把a1•a2•a3…ak化为log2（k+2），再根据a1•a2•a3…ak为整数，可得k=2n-2，进而由等比数列前n项和公式可得结论．
【解析】
∵an=logn+1（n+2）=
∴a1•a2•a3…ak=×…×=log2（k+2），
又∵a1•a2•a3…ak为整数
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N*），即k=2n-2．
∴k∈[1，2009]内所有的企盼数的和M=（22-2）+（23-2）+（24-2）+…+（210-2）==2026
故答案为：2026．