Question

已知函数f（x）=（x-k）e^x．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）求f（x）在区间[0，1]上的最小值．

Answer

（I）求导，令导数等于零，解方程，跟据f′（x）f（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间；（Ⅱ）根据（I），对k-1是否在区间[0，1]内进行讨论，从而求得f（x）在区间[0，1]上的最小值．
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=（x-k+1）ex，
令f′（x）=0，得x=k-1，
f′（x）f（x）随x的变化情况如下：

∴f（x）的单调递减区间是（-∞，k-1），f（x）的单调递增区间（k-1，+∞）；

（Ⅱ）当k-1≤0，即k≤1时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，
∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（0）=-k；
当0＜k-1＜1，即1＜k＜2时，由（I）知，f（x）在区间[0，k-1]上单调递减，f（x）在区间（k-1，1]上单调递增，
∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（k-1）=-ek-1；
当k-1≥1，即k≥2时，函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，
∴f（x）在区间[0，1]上的最小值为f（1）=（1-k）e；
综上所述f（x）min=．