Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知△ABC的周长为6，且a，b，c成等比数列，则△ABC面积的最大值是（ ）
A．
B．2
C．
D．

Answer

根据等差数列的性质得到b2=ac，然后由余弦定理表示出cosB，并利用基本不等式求出cosB≥，根据余弦函数的图象得到B的范围，同时由b= 及基本不等式列出关于b的不等式，
求出不等式的解集得到b的范围，根据三角形的两边之差小于第三边列出不等式，由三角形的周长及b2=ac，得到关于b的一元二次不等式，进一步确定b的范围，再由S=ac•sinB
=b2•sinB，得到S的最大值．
【解析】
依次为a，b，c，则a+b+c=6，b2=ac，c2
由余弦定理得：cosB==≥=，∴0＜B≤，
又b=≤=，从而0＜b≤2，∵△ABC三边依次为a，b，c，则a-c＜b，即有（a-c）2＜b2，
∵a+b+c=6，b2=ac，b2＞（a+c）2-4ac，
∴b2+3b-9＞0，b＞，∴＜b≤2，
∴S=acsinB=b2•sinB≤•22•sin=，
则S的最大值为，
故选C．