Question

如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A，B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的像就是n，记作f（m）=n．则在下列说法中正确命题的个数为（ ）
①f（）=1；②f（x）为奇函数；③f（x）在其定义域内单调递增；④f（x）的图象关于点（）对称．
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

由题中对映射运算描述，对四个命题逐一判断其真伪，
①m=此时M恰好处在左半圆弧的中点上，求出直线AM的方程后易得N的横坐标．
②可由偶函数的定义域关于原点对称来确定正误，
③可由图3，由M的运动规律观察出函数值的变化，得出单调性，
④可由图3中圆关于Y轴的对称判断出正误
【解析】
由题意①是错误命题，因为当m=此时M恰好处在左半圆弧的中点上，此时直线AM的方程为y=x+1，即f（）=；
②是错误命题，由函数是奇函数，其定义域必关于原点对称，而m∈（0，1），不是奇函数；
③是正确命题，由图3可以看出，m由0增大到1时，M由A运动到B，此时N由x的负半轴向正半轴运动，由此知，N点的横坐标逐渐变大，故f（x）在定义域上单调递增是正确的；
④是正确命题，由图3可以看出，当M点的位置离中间位置相等时，N点关于Y轴对称，即此时函数值互为相反数，故可知f（x）的图象关于点（，0）对称
综上知，③④是正确命题，
故选B．