Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为4的正方形，PD⊥平面ABCD，PD=6，E，F分别为PB，AB中点．
（1）证明：BC⊥平面PDC；
（2）求三棱锥P-DEF的体积．

Answer

（1）由底面ABCD是正方形可得BC⊥CD，再由PD⊥平面ABCD可得PD⊥BC，进而可得结论．
（2））由E为PB的中点可得P，B两点到平面DEF的距离相等，可得V三棱锥P-DEF=V三棱锥B-DEF=V三棱锥E-BDF，根据三角形的中位线定理可得=3，可以求出三棱锥E-BDF的体积即可．
【解析】
（1）∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC．
又底面ABCD是正方形，故BC⊥CD．
又PD∩DC=D，
∴BC⊥平面PDC．
（2）∵E为PB的中点，∴P，B两点到平面DEF的距离相等．
∴V三棱锥P-DEF=V三棱锥B-DEF=V三棱锥E-BDF．
设BD中点E′，则据三角形的中位线定理可得=3．
且EE′∥PD，又PD⊥平面ABCD，
∴EE′⊥平面ABCD，
又V三棱锥E-BDF==4．
故V三棱锥P-DEF=V三棱锥E-BDF=4．