Question

已知椭圆的左焦点为F（-，0），离心率e=，M、N是椭圆上的动点．
（Ⅰ）求椭圆标准方程；
（Ⅱ）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为-，问：是否存在定点F₁，F₂，使得|PF₁|+|PF₂|为定值？，若存在，求出F₁，F₂的坐标，若不存在，说明理由．
（Ⅲ）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影为A，连接NA 并延长交椭圆于点B，证明：MN⊥MB．

Answer

（Ⅰ）利用椭圆的左焦点为F（-，0），离心率e=，建立方程组，求得几何量，从而可求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）利用，确定坐标之间的关系，由直线OM与ON的斜率之积为，结合M、N是椭圆上的点，即可求得结论；
（Ⅲ）设出坐标，证明kMN•kMB+1=0即可得到结论．
（Ⅰ）【解析】
由题设可知：，∴a=2，c=…2分
∴b2=a2-c2=2…3分
∴椭圆的标准方程为：…4分
（Ⅱ）【解析】
设P（xP，yP），M（x1，y1），N（x2，y2），由可得：①…5分
由直线OM与ON的斜率之积为可得：，即x1x2+2y1y2=0②…6分
由①②可得：xP2+2yP2=（x12+2y12）+（x22+2y22）
∵M、N是椭圆上的点，∴x12+2y12=4，x22+2y22=4
∴xP2+2yP2=8，即…..8分
由椭圆定义可知存在两个定点F1（-2，0），F2（2，0），使得动点P到两定点距离和为定值4；….9分；
（Ⅲ）证明：设M（x1，y1），B（x2，y2），则x1＞0，y1＞0，x2＞0，y2＞0，x1≠x2，A（x1，0），N（-x1，-y1）…..10分
由题设可知lAB斜率存在且满足kNA=kNB，∴…．③
kMN•kMB+1=+1④…12分
将③代入④可得：kMN•kMB+1=+1=⑤….13分
∵点M，B在椭圆上，∴kMN•kMB+1==0
∴kMN•kMB+1=0
∴kMN•kMB=-1
∴MN⊥MB…14分．