Question

已知数列{a_n}，a_n=，其中α，β是方程x²-x-1=0的两个根．
（1）证明：对任意正整数n，都有a_n+2=a_n+1+a_n；
（2）若数列{a_n}中的项都是正整数，试证明：任意相邻两项的最大公约数均为1；
（3）若β＜α，b_n=，n=1，2，…，证明：．

Answer

（1）利用α，β是方程x2-x-1=0的两个根，作差an+2-（an+1+an），可得结论；
（2）由（1）与更相减损术可得：对任意正整数n，（an+2，an+1）=（an+1+an，an+1）=（an，an+1），由此可得结论；（3）由α，β是方程x2-x-1=0的两个根且β＜α，结合an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+…bn-1），利用放缩法，即可证得结论．
（1）证明：∵α，β是方程x2-x-1=0的两个根，
∴α2-α-1=0，β2-β-1=0
∴对任意正整数n，an+2-（an+1+an）==0
∴an+2=an+1+an；
（2）【解析】
由（1）与更相减损术可得：对任意正整数n，（an+2，an+1）=（an+1+an，an+1）=（an，an+1），
∴（an，an+1）=（a2，a1）=（a2，1）=1，
∴任意相邻两项的最大公约数均为1；
故命题成立；
（3）【解析】
∵α，β是方程x2-x-1=0的两个根且β＜α，
∴由an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+…bn-1）可得：bn==
＜=
∴＜=1+＜=1+=1+1-＜2．