Question

定义在R上的单调增函数f（x），对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若f+f（3^x-9^x-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）根据f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），分别令x=y=0，y=-x，即可证得结论；
（2）根据f（x）在R上是单调增函数，且是奇函数，将f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜0对任意x∈R恒成立，转化为32x-（1+k）•3x+2＞0对任意x∈R成立，进而可利用换元法及分类讨论的思想，即可求得实数k的取值范围．
（1）证明：令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），得f（0+0）=f（0）+f（0），即 f（0）=0．
令y=-x，代入f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），得 f（x-x）=f（x）+f（-x），
又f（0）=0，则有0=f（x）+f（-x）．
即f（-x）=-f（x）对任意x∈R成立，所以f（x）是奇函数．--------------（4分）
（2）【解析】
f（x）在R上是单调增函数，又由（1）知f（x）是奇函数．
∵f（k•3x）＜-f（3x-9x-2）=f（-3x+9x+2），
∴k•3x＜-3x+9x+2，
∴32x-（1+k）•3x+2＞0对任意x∈R成立．
令t=3x＞0，问题等价于t2-（1+k）t+2＞0对任意t＞0恒成立．--------------------（6分）
令g（t）=t2-（1+k）t+2，其对称轴为
当，即k＜-1时，f（0）＞2，符合题意；
当，即k≥-1时，则△=（1+k）2-4×2＜0，∴
综上，--------------------------（12分）